Cálculo tornado fácil –
Capítulo II: Sobre diferentes graus de pequenez

Esta é a segunda parte da série Cálculo Tornado Fácil.

O sumário abaixo será atualizado conforme os novos artigos sejam publicados. Dê sugestões opiniões e leia os outros capítulos!

Sumário

  • Prólogo
  • I. Livrando-se dos terrores preliminares
  • II. Sobre diferentes graus de pequenez
  • III. Sobre crescimentos relativos
  • IV. Casos mais simples
  • V. Próximo estágio: o que fazer com constantes
  • VI. Somas, diferenças, produtos e quocientes
  • VII. Derivação sucessiva
  • VIII. Quando o tempo varia
  • IX. Introduzindo um truque útil
  • X. Significado geométrico da derivação
  • XI. Máxima e Mínima
  • XII. Curvatura das curvas
  • XIII. Outros truques úteis
  • XIV. Sobre juros compostos e a lei do crescimento orgânico
  • XV. Como lidar com senos e cossenos
  • XVI. Derivação parcial
  • XVII. Integração
  • XVIII. Integração como o reverso da derivação
  • XIX. Sobre encontrar áreas por integração
  • XX. Truques, armadilhas e triunfos
  • XXI. Encontrando algumas soluções

Veremos que durante nossos processos de cálculo que teremos que lidar com pequenas quantidades de vários graus de pequenez.

Também devemos aprender sob quais circunstâncias nós devemos considerar pequenas quantidades tão minutas que devemos omiti-las de qualquer consideração. Tudo depende da pequenez relativa.

Antes de fixarmos quaisquer regras, pensemos acerca de casos familiares. Existem 60 minutos em uma hora, 24 horas no dia, 7 dias na semana. Portanto, existem 1440 minutos no dia e 10080 minutos na semana.

Obviamente 1 minuto é uma quantidade muito pequena de tempo comparada com uma semana. Inclusive, nossos antepassados consideraram isso pequeno comparado a uma hora e chamaram isso de “um minuto”, significando uma fração minuto, ou seja, um sessenta avos (\frac{1}{60}) de uma hora. Quando eles precisaram de ainda menores subdivisões de tempo, diviram cada minuto em 60 partes ainda menores, os quais, no tempo da rainha Elizabeth, foram chamados de “second minùtes” (pequenas quantidades de segunda ordem pequenez). Hoje em dia chamamos estas pequenas quantidades de segunda ordem de pequenez de “segundos”. Mas poucos pessoas sabem o motivo de eles terem esta nomenclatura.

Agora, se um minuto é tão pequenos se comparado com um dia inteiro, quão menor é um segundo para comparação!

Novamente, pense em um centavo comparado com 10 reais: vale \frac{1}{1000}. Um centavo a mais ou a menos tem uma importância muito pequena se comparado com 10 reais: certamente ele pode ser considerado como uma quantia pequena. Agora compare 10 reais com 10 mil reais: a esta soma, relativamente, 10 reais não ultrapassa a importância de \frac{1}{1000} em comparação com 10 mil reais.

Agora, se fixarmos sobre qualquer fração numérica como algo que constitui a proporção que para qualquer propósito podemos chamar pequenas, podemos facilmente definir outras frações com grande grau de pequenez. Agora se para o propósito do tempo chamarmos \frac{1}{60} de uma pequena fração, então \frac{1}{60} de \frac{1}{60} (sendo a pequena fração de uma pequena fração) pode ser considerado como uma pequena quantidde de segunda ordem de pequenez (os matemáticos falam de segunda ordem de “magnitude”, isto é, grandeza, quando na verdade eles se referem a segunda ordem de pequenez. Isto é muito confuso para iniciantes).

Ou, se para qualquer propósito pegar 1% (\frac{1}{100}) como uma pequena fração, então 1% de 1% (\frac{1}{10000}) seria uma pequena fração de uma segunda ordem de pequenez; e \frac{1}{1000000} seria uma pequena fração de terceira ordem de pequenez, sendo 1% de 1% de 1%.

Por fim, vamos supor que para algum propósito muito específico nos devemos considerar \frac{1}{1000000} como “pequeno”. Assim, para um cronômetro de primeira linha não perder ou ganhar mais de meio minuto em um ano, ele precisa manter o tempo com uma acurácia de 1 parte em 1051200 (N.T.: este livro foi escrito em 1910, portanto essa precisão para um cronômetro deveria ser muito difícil de se alcançar). Para tal propósito nós consideramos \frac{1}{1000000} como uma pequena quantidade, assim \frac{1}{1000000} de \frac{1}{1000000} é \frac{1}{1000000000000}, sendo uma pequena quantidade de segunda ordem de pequenez, e pode ser absolutamente posta a parte, por comparação.

Aqui nós descobrimos que quanto menor uma pequena quantidade é, mais negligenciável a correspondente pequena quantidade de segunda ordem se torna. Também descobrimos que em todos os casos é justificável negligenciar as pequenas quantidades de segunda,terceira, quarta, etc. ordens, somente se considerarmos a pequena quantidade de pequena ordem pequena por si mesmo.

Contudo, devemos lembrar que quando pequenas quantidades ocorrem em nossas expressões como fatores multiplicados por algum outro fator, elas podem ser importante se o outro fator é, por si só, grande. Mesmo um centavo se torna importante se for multiplicado por alguns milhares.

Em cálculo no escrevemos dx para uma pequena parte de x. Estas coisas como dx, du e dy são chamadas “diferenciais”: o diferencial de x, de u ou de y. Se dx é uma pequena quantidade de x, e relativamente uma pequena parte de si mesmo, isso não significa que x . dx, x^2 dx ou a^2 . dx são negligenciáveis. Porém dx . dx pode ser negligenciável, sendo uma pequena quantidade de segunda ordem.

Um simples exemplo servirá de ilustração;

Pense em x como uma quantidade que pode crescer por uma pequena quantidade que pode ser expressada como x + dx, onde dx é o pequeno incremento adicionado pelo crescimento. O quadrado desta expressão é x^2 +2x . dx + (dx)^2. O segundo termo não é negligenciável por conta de sua primeira ordem de quantidade; já o terceiro termo é da segunda ordem de pequenez, sendo um pedaço de um pedaço de x^2. Digamos que dx seja numericamente igual a \frac{1}{60} de x, então o segundo termo seria \frac{2}{60} de x^2, enquanto o terceiro termo seria \frac{1}{3600} de x^2. Este último termo é claramente menos importante que o segundo. Indo além, se dx for igual a \frac{1}{1000} de x, então o segundo termo seria \frac{2}{1000} de x^2, enquanto o terceiro termo seria \frac{1}{1000000} de x^2.

Figura 1
Figura 1

Geometricamente, podemos representar isso da seguinte forma: desenhe um quadrado (figura 1) cujo lado é igual a x. Agora suponha que o quadrado cresce tendo um pedaço dx adicionado aos seus lados. O quadrado alargado é composto pelo quadrado original x^2 e dois retângulos: um no topo e um no lado direito, cada um com área x . dx (ou juntos 2x . dx) e o pequeno quadrado na extremidade direita de cima que é igual a (dx)^2 . Na figura 2 nos consideramos dx como uma grande fração de x, aproximadamente \frac{1}{5}. Mas suponha que tenhamos considerado apenas \frac{1}{100}. O pequeno quadrado do canto teria uma área de \frac{1}{10000} de x^2, seria praticamente invisível. Claramente (dx)^2 é negligenciável apenas se considerarmos que o incremento dx pequeno o suficiente.

Figuras 2 e 3
Figuras 2 e 3

Consideremos outro exemplo.

Suponha que um milionário dissesse para sua secretária: “Na próxima semana eu lhe darei uma pequena fração de qualquer dinheiro que venha a mim”. Suponha que esta secretária dissesse ao seu filho: “Eu lhe darei uma pequena fração do que eu ganhar”. Suponha que a fração em cada caso seja \frac{1}{100}. Agora, se o Sr. Milionário recebesse durante a semana R$ 1000,00, a secretária receberia R$ 10,00 e seu filho R$ 0,10. R$ 10,00 seria uma pequena quantidade se comparada com R$ 1000,00; mas R$ 0,10 é uma quantidade ainda menor, de segunda ordem. Mas se ao invés de \frac{1}{100}, fosse estabelecido \frac{1}{1000}? Então, enquanto o Sr. Milionário teria R$ 1000,00, a Srª. Secretária ganharia apenas R$ 1,00 e seu filho R$ 0,01!

O espirituoso Dean Swift* escreveu:

“Então, naturalista observam, uma pulga
Porventura pulgas menores a predando.
E essas têm pulgas menores a mordê-las,
E assim prossegue ad infinitum.”

  • Tradução livre. Extraído de Poetry: a Rhapsody (p. 20), impresso em 1733.

Um boi pode se preocupar com uma pulga de tamanho ordinário, uma pequena criatura de primeira ordem de pequenez. Mas ele provavelmente não se incomodaria com as pulgas da pulga; sendo de segunda ordem de pequenez, elas seriam negligenciáveis. Mesmo uma grande quantidade de pulgas de uma pulga não seriam de muita importância para um boi.

Douglas Moura

Fundador do Engenharia Livre, engenheiro civil e programador. Procuro sempre compartilhar as melhores informações do mundo da Engenharia.
Deixe um comentário em Cálculo tornado fácil –
Capítulo II: Sobre diferentes graus de pequenez