Cálculo tornado fácil – Capítulo III: Sobre crescimentos relativos

Esta é a segunda parte da série Cálculo Tornado Fácil.

O sumário abaixo será atualizado conforme os novos artigos sejam publicados. Dê sugestões opiniões e leia os outros capítulos!

Sumário

  • Prólogo
  • I. Livrando-se dos terrores preliminares
  • II. Sobre diferentes graus de pequenez
  • III. Sobre crescimentos relativos
  • IV. Casos mais simples
  • V. Próximo estágio: o que fazer com constantes
  • VI. Somas, diferenças, produtos e quocientes
  • VII. Derivação sucessiva
  • VIII. Quando o tempo varia
  • IX. Introduzindo um truque útil
  • X. Significado geométrico da derivação
  • XI. Máxima e Mínima
  • XII. Curvatura das curvas
  • XIII. Outros truques úteis
  • XIV. Sobre juros compostos e a lei do crescimento orgânico
  • XV. Como lidar com senos e cossenos
  • XVI. Derivação parcial
  • XVII. Integração
  • XVIII. Integração como o reverso da derivação
  • XIX. Sobre encontrar áreas por integração
  • XX. Truques, armadilhas e triunfos
  • XXI. Encontrando algumas soluções

Sempre através do cálculo estamos lidando com quantidades que estão crescendo e com taxas de crescimento. Nós classificamos tais quantidades em duas classes: constantes e variáveis. Aqueles que consideramos de valor fixo, chamados constantes, geralmente são denotados algebricamente por letras do começo do alfabeto, como a,b ou c, enquanto as que consideramos capazes de “crescer”, ou (como os matemáticos dizem) “variar”, são representadas por letras do fim do alfabeto, como x, y, z, u, v, w e às vezes t.

Além disso, normalmente lidamos com mais de uma variável por vez, e pensando no modo em que uma variável depende de outra: por exemplo, pensamos na altura atingida por um projétil depende do tempo necessário para atingir tal altura. Ou somos convidados a considerar o retângulo de determinada área, e inquirir como o aumento do comprimento irá determinar uma diminuição na largura do retângulo. Ou ainda de que modo uma variação na declividade de uma escada irá afetar a altura que ela pode atingir, para variar.

Agora suponha que temos duas variáveis que dependem uma da outra. Uma alteração em uma irá causar uma alteração na outra por causa desta dependência. Vamos chamar uma das variáveis de x e a outra que depende dela de y.

Suponha que façamos x variar, isto é, nós o alteramos ou imaginamos que ele seja alterado adicionando uma pequeno pedaço chamado de dx. Nós estamos fazendo com que x se transforme em x + dx. Sendo assim, como x foi alterado, y deverá ser alterado também, se tornando y + dy. Aqui o pedaço dy pode ser positivo em alguns casos, negativo em outros, e não será (exceto por um milagre) do mesmo tamanho que que dx.

Vejamos dois exemplos

1. Sejam x e y, respectivamente, a base e altura de um triângulo retângulo (figura 4) com uma inclinação de 30º.

triangulo-retangulo-30-deg

Se supormos que este triângulo deve se expandir e ainda manter seus ângulos internos, então quando a base cresce até se tornar x + dx, a altura se torna y + dy. Aqui, o aumento de x resulta no aumento de y. O pequeno triângulo, de altura dy e base dx é similar ao triângulo original; assim sendo, é óbvio que o valor da razão\frac{dy}{dx}é igual ao valor da razão \frac{y}{x}. À medida que o ângulo é 30º, será visto que

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1,73}
2. Seja x, na figura 5, a distância horizontal de uma parede até a parte inferior de uma escada AB, de altura fixa; triangulosendo assim, y é a altura desta escada. Claramente y depende de x. É fácil ver isso, pois se o ponto A por posto um pouco mais longe da parede, o topo (ponto B) irá descer um pouco. Vamos dizer isso em linguagem científica. Se aumentarmos x para x + dx, então y será y – dy; ou seja, quando x recebe um incremento positivo, o incremento que resulta em y é negativo.

Certo, mas quanto? Suponha que a escada seja tão longa que quando a distância da parede à extremidade A for de 50 cm, a extremidade B esteja a 4,5 m do chão. Agora, se você estender a extremidade A por mais 10 cm, quando a extremidade B irá descer? Coloquemos tudo na mesma unidade de medida: x = 50 cm, y = 450 cm. Agora o incremento de x, chamado dx, é 10 cm ou x + dx = 60 cm;

Quando y diminuiu? A nova altura será y – dy. Se calcularmos a altura por Euclides I. 47 (Os elementos de Euclides, livro I, proposição 47), seremos capazes de descobrir o valor de dy. O comprimento da escada é
\sqrt{450^2 + 50^2} = 452,77 cm
Portanto, a nova altura (y – dy) será:

(y - dy)^2 = 452,77^2 - 60^2 = 201400,67y - dy = \sqrt{201400,67} = 448,78
Assim, y é igual a 450 cm e dy é 450 – 448,78 = 1,22 cm.

Aqui pudemos visualizar que fazendo de dx um acréscimo de 10 cm resultou em um dy com decréscimo de 1,22 cm. A razão de dy por dx pode ser definida como

\frac{dy}{dx} = \frac{1,22}{10}
Também é fácil de visualizar que (exceto em uma posição particular) dy será diferente de dx.

Deve ser notado que podemos apenas encontrar a razão \frac{dy}{dx} quando y e x são relacionados de alguma forma, sendo que sempre que x varia, y também variará. Por exemplo, no nosso primeiro exemplo, se a base x do triângulo foi maior, a altura y do triângulo também será maior. Já no segundo exemplo, se a distância x da base da escada aumentar, a altura y alcançada pela escada irá diminuir de maneira correspondente, devagar no começo, mas mais rapidamente quando x se torna maior. Nestes casos a relação entre x e y é perfeitamente definida, podendo ser expressada matematicamente, sendo \frac{y}{x} = tan 30^{\circ} e x^2 + y^2 = l ^2 (onde l é o comprimento da escada) respectivamente, e \frac{dy}{dx} tem o significado que encontramos em cada caso.

Se, enquanto x é, como antes, a distância da base da escada da parede, y é, ao invés da altura, o comprimento horizontal da parede, ou o número de tijolos, ou o número de anos desde que foi construída, qualquer alteração em x não causaria qualquer alteração em y; neste caso\frac{dy}{dx}não possui nenhum significado, e não é possível encontrar sua expressão. Sempre que usamos diferenciais dx, dy, dz, etc., a existência de algum tipo de relação entre x, y, z, etc. é implícita, e esta relação é chamada de “função” em x, y, z, etc.; as duas expressões dadas acima, \frac{y}{x} = tan30^{\circ} e x^2 + y^2 = l^2 são funções em x e y. Tais expressões contêm implicitamente (que é, possuem sem mostrá-lo distintamente) os meios de expressar tanto x em termos de y quanto y em termos de x, e por esta razão elas são chamadas de funções implícitas de x e y, podendo ser postas respectivamente nas seguintes formas:
y = x.tan 30^{\circ} ou x = \frac{y}{tan 30^{\circ}}

e

y = \sqrt{l^2 - x^2} ou x = \sqrt{l^2 - y^2}
Estas últimas expressões mostras explicitamente (isto é, distintamente) o valor de x em termos de y ou de y em termos de x, e por esta razão são chamadas funções explícitas de x ou y. Por exemplo, x^2 + 3 = 2y - 7 é uma função implícita de x e y; pode ser escrita y = \frac{x^2 + 10}{2} (função explícita de x) ou x = \sqrt{2y - 10} (função explícita de y). Aqui vemos que uma função explícita em x, y, z, etc. é simplesmente o valor que altera quando x, y, z, etc. estão alterando, tanto um de cada vez quanto vários ao mesmo tempo. Por causa disso, o valor da função explícita é chamado de variável dependente, já que seu valor depende de outras quantidades na função; as outras variáveis são chamadas de variáveis independentes pois seu valor não é determinado pelo valor assumido pela função. Por exemplo, se u = x^2.sin\theta, x e \theta são variáveis independentes, e u é uma variável dependente.

Algumas vezes a relação exata entre várias quantidades de x, y, z tanto pode ser desconhecido quanto inconveniente de determinar; é apenas conhecido, ou conveniente de determinar que existe algum tipo de relação entre essas variáveis, de forma que uma não pode alterar x ou y ou z singularmente sem afetar as outras quantidades; a existência de uma função em x, y, z é indicada pela notação F(x, y, z) (função implícita) ou por x = F(y, z), y = F(x, z) ou z = F(x, y) (função explícita). Algumas vezes a letra f ou \phi (letra grega phi) é usada no lugar de F, assim y = F(x), y = f(x) e y = \phi(x) todos significam a mesma coisa, que o valor de y depende do valor de x de alguma forma que não foi expressada.

Nós chamamos a razão \frac{dy}{dx} “o coeficiente diferencial de y em relação a x“. É um nome científico solene para uma coisa muito simples. Porém nós não vamos nos acovardar diante de nomes solenes, quando as coisas por si só são fáceis. Ao invés de termos medo, iremos amaldiçoar a estupidez destes grandes nomes trava-língua, e tendo aliviado nossas mentes, iremos nomear as coisas simples, ou seja, a razão \frac{dy}{dx}.

Durante as aulas ordinárias de álgebra que você deve ter assistido na escola, você sempre esteve tentando descobrir alguma quantidade desconhecida chamada de x ou y; ou algumas vezes haviam duas quantidade desconhecidas para serem determinadas simultaneamente. Agora você aprendeu a encontrá-los de uma nova forma. O processo de encontrar o valor de \frac{dy}{dx} é chamado “derivação”. Mas lembre-se, o que é procurado é o valor dessa razão quando dy e dx são indefinidamente pequenos. O verdadeiro valor do coeficiente diferencial é aquele que se aproxima do caso limitante quando cada um deles é considerado infinitesimalmente diminuto.

Agora vamos aprender como achar \frac{dy}{dx}.


Nota para o capítulo III

Nunca caia no erro de pensar que dx significa d vezes x, pois d não é um fator – ele significa “um elemento de” ou “uma parcela de” qualquer coisa que venha a seguir. Se lê dx assim: “dê-xis“.

Caso o leitor nunca tenha sido instruído por alguém em tais assuntos, será simplesmente dito que lê-se coeficientes diferenciais da maneira a seguir: o coeficiente diferencial \frac{dy}{dx} é lido “dê-ipsilon por dê-xis” ou “dê-ipsilon sobre dê-xis“. Assim \frac{du}{dt} é lido “dê-u por dê-tê“.

Segundos coeficientes diferenciais serão apresentados mais à frente. Ele são assim:

\frac{d^2 y}{dx^2}

Lê-se: “dê-dois-ipsilon sobre dê-xis ao quadrado”. Isto significa que a derivação de y em relação a x foi feita (ou precisa ser feita) duas vezes.

Outra forma de indicar que uma função foi derivada é colocando uma apóstrofe ao lado do nome da função. Desse modo, sey = F(x), que significa que y é uma função não especificada de x, nós podemos escrever F'(x) ao invés de \frac{d(F(x))}{dx}. Similarmente, F^n(x) significa que a função F(x) foi derivada n vezes em relação a x.

Douglas Moura

Fundador do Engenharia Livre, engenheiro civil e programador. Procuro sempre compartilhar as melhores informações do mundo da Engenharia.
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